讲者从头到尾没说「mirror descent」这个词，但 p19 做的事就是它。知道名字会让这一讲一下子变得有条理。

一句话的内容：梯度下降的更新 a_{t+1} = Π_𝒜(a_t − η∇ℓ_t) 可以改写成一个带正则的最优化：
a_{t+1} = argmin_{a∈𝒜} { η⟨∇ℓ_t, a⟩ + D(a, a_t) }
其中 D 是某种「距离」。选不同的 D，得到不同的算法：

· D(a,b) = ½‖a−b‖²₂（欧氏） ⇒ 就是在线梯度下降
· D(a,b) = Σ_i a_i log(a_i/b_i)（KL 散度） ⇒ 就是指数权重

两者是同一个模板的两个实例，差别只在「用什么度量两个点的远近」。而界的形状直接由这个选择决定：欧氏几何在单纯形上给 √(dT)，熵几何给 √(T log d)。

为什么熵几何在单纯形上更合身？直觉是：欧氏距离把单纯形当成 ℝ^d 里的一块平板，看不见「坐标非负且和为 1」这个结构；KL 散度天生就是为概率分布造的度量，它在边界（某个坐标趋于 0）处会发散，正好对应「不要把某个候选的权重压到零」。

要读的话：Hazan 第 5 章、Bubeck 的 Convex Optimization: Algorithms and Complexity 第 4 章。本课不考，但这是从「会用两个算法」升级到「知道该用哪个」的那一步。

CSE541 第 4 讲 · 通用投资组合 · 连续指数权重 · 极小极大分析